Anleitung

Anleitung zum Funktionenplotter

Inhaltsverzeichnis

Syntax
Operationen höherer Ordnung
Konstanten
Spezielle elementare Funktionen
Exponentiation und Logarithmen
Winkelfunktionen und verwandte Funktionen
Gamma-Funktion und verwandte Funktionen
Integralfunktionen
Elliptische Integrale und verwandte Funktionen
Polynomfunktionen
Funktionalanalysis
Lineare Algebra
Vektoranalysis
Zahlentheorie
Kombinatorik
Verteilungen und Zufallszahlen
Hilfsfunktionen
Befehle
Parameterkurven
Parameterflächen

Syntax

Syntax	Mathematik	Erklärung
`a+b, a-b`	a+b, a−b	Addition, Subtraktion.
`a*b, a/b`	a⋅b, a/b	Multiplikation, Division.
`a^n`	aⁿ	Potenzierung.
`\|x\|`	\|x\|	Betrag.
`n!`	n!	Fakultät.
`a:=b`	a:=b	Zuweisung.
`f(x):=2x`	f(x):=2x	Funktionsdefinition.
`f(x,y):=x*y`	f(x,y):=x⋅y	Funktionsdefinition.
`x->2x`	x ↦ 2x	Namenlose Funktion.
`(x,y)->x*y`	(x,y) ↦ x⋅y	Namenlose Funktion.
`f'(a)`	f'(a)	Ableitung von f an der Stelle a.
`f''(a)`	f''(a)	Zweite Ableitung von f bei a.
`if(a,x,y)`	x wenn a, sonst y	Fallunterscheidung.
`a&b`	a∧b	Konjunktion: a und b.
`a\|b`	a∨b	Disjunktion: a oder b.
`not(a)`	¬a	Logische Negation.
`a<b, a>b`	a<b, a>b	Vergleich.
`a<=b, a>=b`	a≤b, a≥b	Vergleich.
`[a,b]`	(a, b)	Paar, Koordinatenvektor.
`[a,b,c]`	(a, b, c)	Tripel, Koordinatenvektor.
`[a,b,c,...]`	(a, b, c, …)	Tupel, Liste.
`a[k]`	a_k	Wert zum Index k, ab k=0.
`a:b`	(a, a+1, …, b)	Ganzzahlintervall als Liste.

Operationen höherer Ordnung

Funktion	Mathematik	Erklärung
`diff(x->f(x),a)`	df(x)/dx\|_x=a	Ableitung von f an der Stelle a.
`diff(x->f(x),a,n)`	(d/dx)ⁿ f(x)\|_x=a	Die n-te Ableitung von f bei a.
`sum(a,b,k->f(k))`	∑_k∈[a,b] f(k)	Summe. Kurz `sum(a,b,f)`.
`prod(a,b,k->f(k))`	∏_k∈[a,b] f(k)	Produkt. Kurz `prod(a,b,f)`.
`int(a,b,x->f(x))`	∫_[a,b] f(x) dx	Bestimmtes Integral. Kurz `int(a,b,f)`.
`inv(f,x,a,b)`	(f\|_[a,b])⁻¹(x)	Umkehrfunktion der Einschränkung von f auf [a,b].
`iter(f,n,x)`	fⁿ(x)	Die n-te Iteration von f.

Konstanten

Konstante	Erklärung
`pi`	Halber Umfang des Einheitskreises.
`tau`	Umfang des Einheitskreises.
`e`	Basis des natürlichen Logarithmus.
`grad`	Winkel-Einheit: `tau/360`.
`gon`	Winkel-Einheit: `tau/400`.
`gc`	Euler-Mascheroni-Konstante (gamma constant).
`gr`	Goldener Schnitt (golden ratio).
`nan`	Not a number: unbestimmter Wert.
`inf`	Infinity: unendlich.

Spezielle elementare Funktionen

Funktion	Erklärung
`abs(x)`	Betragsfunktion.
`sgn(x)`	Signumfunktion.
`floor(x)`	Abgerundeter Wert.
`ceil(x)`	Aufgerundeter Wert.
`rd(x)`	Gerundeter Wert.
`rd(x,n)`	Auf n Stellen gerundeter Wert.
`frac(x)`	Nachkommaanteil.
`div(x,y)`	Floor-Division.
`mod(x,y)`	Rest der Floor-Division.
`diveuc(x,y)`	Euklidische Division.
`modeuc(x,y)`	Rest der euklidischen Division.
`divtrunc(x,y)`	Trunc-Division.
`modtrunc(x,y)`	Rest der Trunc-Division.
`max(x,y)`	Maximum.
`min(x,y)`	Minimum.
`hypot(x,y)`	Hypotenusenlänge: `sqrt(x^2+y^2)`.
`angle(x,y)`	Phasenwinkel des Koordinatenvektors (x,y).
`rect(x)`	Rechteckfunktion.
`tri(x)`	Dreieckfunktion.
`sqwave(x)`	Rechteckschwingung.
`twave(x)`	Dreieckschwingung.
`mod(x,1)`	Kippschwingung.

Exponentiation und Logarithmen

Funktion	Erklärung
`exp(x)`	Natürliche Exponentialfunktion.
`ln(x)`	Natürlicher Logarithmus.
`lg(x)`	Dekadischer Logarithmus.
`ld(x)`	Binärer Logarithmus.
`lb(x)`	Binärer Logarithmus.
`log(x,b)`	Logarithmus zur Basis b.
`sqrt(x)`	Quadratwurzel.
`root(n,x)`	Die n-te Wurzel.
`W(x)`	Lambert-W-Funktion, oberer Ast.
`Wm1(x)`	Lambert-W-Funktion, unterer Ast.

Winkelfunktionen und verwandte Funktionen

Funktion	Erklärung
`sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)`	Winkelfunktionen.
`asin(x), acos(x), atan(x), acot(x)`	Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen.
`sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)`	Hyperbelfunktionen.
`asinh(x), acosh(x), atanh(x), acoth(x)`	Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.
`sinc(x)`	Kardinal-Sinus: `sin(pix)/(pix)`.

Gamma-Funktion und verwandte Funktionen

Funktion	Erklärung
`gamma(x)`	Gamma-Funktion Γ(x).
`fac(x)`	Fakultät, als `gamma(x+1)`.
`gamma(a,x)`	Untere unvollständige Gamma-Funktion γ(a,x).
`Gamma(a,x)`	Obere unvollständige Gamma-Funktion Γ(a,x).
`B(x,y)`	Beta-Funktion.
`erf(x)`	Fehlerfunktion.
`psi(x)`	Digamma-Funktion ψ(x).
`psi(n,x)`	Polygamma-Function ψ_n(x).
`zeta(x)`	Zeta-Funktion ζ(x).
`zeta(x,q)`	Hurwitzsche Zeta-Funktion ζ(x,q).

Integralfunktionen

Funktion	Erklärung
`Ei(x)`	Integralexponentialfunktion.
`En(n,x)`	Integralexponentialfunktion E_n(x).
`li(x)`	Integrallogarithmus.
`Li(x)`	Um `li(2)` versetzter Integrallogarithmus.
`Si(x)`	Integralsinus.
`Ci(x)`	Integralkosinus.

Elliptische Integrale und verwandte Funktionen

Funktion	Erklärung
`agm(x,y)`	Arithmetisch-Geometrisches Mittel.
`E(m)`	Vollständiges elliptisches Integral E(m), m=k².
`K(m)`	Vollständiges elliptisches Integral K(m), m=k².
`E(phi,m)`	Elliptisches Integral E(φ,m), m=k².
`F(phi,m)`	Elliptisches Integral F(φ,m), m=k².
`Pi(phi,n,m)`	Elliptisches Integral Π(φ,n,m), m=k².
`RF(x,y,z)`	Symmetrische Carlson-Form R_F(x,y,z).
`RJ(x,y,z,p)`	Symmetrische Carlson-Form R_J(x,y,z,p).
`RC(x,y)`	Symmetrische Carlson-Form R_F(x,y,y).
`RD(x,y,z)`	Symmetrische Carlson-Form R_J(x,y,z,z).

Polynomfunktionen

Funktion	Erklärung
`PP(n,0,x)`	Legendre-Polynom P_n(x).
`PP(n,a,x)`	Assoziierte Legendre-Funktion P_n,a(x).
`PL(n,0,x)`	Laguerre-Polynom L_n(x).
`PL(n,a,x)`	Assoziiertes Laguerre-Polynom L_n,a(x).
`PH(n,x)`	Hermite-Polynom H_n(x).
`PT(n,x)`	Tschebyschow-Polynom T_n(x).
`PU(n,x)`	Tschebyschow-Polynom U_n(x).

Funktionalanalysis

Funktion	Erklärung
`L(f,x)`	Laplace-Transformation von f an der Stelle x. Beispiel: `L(f,x); f(t):=t`. Die Berechnung führt in bestimmten Bereichen zu einem großen numerischen Fehler. Bitte mit dem symbolischen Ergebnis vergleichen.
`delta(x,a)`	Nadelimpuls der Höhe `a`. Flächeninhalt unter dem Graphen bleibt immer gleich eins.

Lineare Algebra

Funktion	Erklärung
`[a,b]`	Ein Koordinatenvektor.
`[[a,b],[c,d]]`	Eine Matrix.
`v+w, A+B`	Summe von Vektoren, Matrizen.
`v-w, A-B`	Differenz von Vektoren, Matrizen.
`rv, rA`	Skalierung des Vektors v, der Matrix A.
`v*w`	Skalarprodukt der Vektoren v und w.
`A*v`	Anwendung der Matrix A auf den Vektor v.
`A*B`	Multiplikation der Matrizen A und B.
`A^-1`	Die zu A inverse Matrix.
`idm(n)`	Die n×n Einheitsmatrix.
`rot(φ)`	Rotationsmatrix 2×2 zum Winkel φ.
`det(A)`	Determinante der Matrix A.
`tr(A)`	Spur der Matrix A.
`tp(A)`	Transponierte der Matrix A.
`diag(x1,...,xn)`	Diagonalmatrix.
`expm(A)`	Matrix-Exponential von A.
`eigvals(A)`	Die Eigenwerte von A.
`eigvecs(A)`	Die normierten Eigenvektoren von A.

Vektoranalysis

Funktion	Erklärung
`grad(f,p)`	Gradient von f bei p.
`div(F,p)`	Divergenz von F bei p.
`curl(F,p)`	Rotation von F bei p.
`diff(F,p)`	Jacobi-Matrix von F bei p.
`metric(F,p)`	Metrischer Tensor von F bei p.
`cartan(F,p)`	Äußere Ableitung von F bei p.

Zahlentheorie

Funktion	Erklärung
`ggT(a,b)`	Größter gemeinsamer Teiler.
`kgV(a,b)`	Kleinstes gemeinsames Vielfaches.
`ggT(a)`	Der ggT aller Zahlen der Liste a.
`kgV(a)`	Das kgV aller Zahlen der Liste a.
`prim(n)`	Primzahltest.
`pseq(n)`	Die Folge der Primzahlen.
`pcf(n)`	Primzahlfunktion, engl. prime-counting function.
`factor(n)`	Primfaktorzerlegung von n.
`phi(n)`	Die eulersche Phi-Funktion.
`lambda(n)`	Die Carmichael-Funktion.
`sigma(k,n)`	Die Teilerfunktion σ_k(n).
`Teiler(n)`	Liste der Teiler von n.
`mu(n)`	Möbius-Funktion.

Kombinatorik

Funktion	Erklärung
`fac(n)`	Fakultät.
`ff(n,k)`	Fallende Faktorielle, `fac(n)/fac(n-k)`.
`rf(n,k)`	Steigende Faktorielle, `fac(n+k-1)/fac(n-1)`.
`bc(n,k)`	Binomialkoeffizient.
`s1(n,k)`	Stirling-Zahlen erster Art.
`s2(n,k)`	Stirling-Zahlen zweiter Art.
`B(n)`	Bernoulli-Zahlen, B(1) = +1/2.
`Bm(n)`	Bernoulli-Zahlen, Bm(1) = −1/2.
`Delta(f,x)`	Vorwärtsdifferenz, (Δf)(x) = f(x+1)−f(x).
`Delta(f,x,n)`	Iterierte Vorwärtsdifferenz.

Verteilungen und Zufallszahlen

Funktion	Erklärung
`rand()`	Zufallszahl aus dem Intervall [0,1].
`rand(a,b)`	Zufallszahl aus dem Intervall [a,b].
`rand(a)`	Wählt zufällig ein Element aus der Liste a.
`rand(a:b)`	Wählt zufällig ein Element aus [a,a+1,a+2,...,b].
`rand(a:b:d)`	Wählt zufällig ein Element aus [a,a+d,a+2d,...,b].
`sample(F)`	Zufallszahl gemäß der Verteilungsfunktion F.
`samples(F,n)`	Liste von n Zufallszahlen gemäß der Verteilungsfunktion F.
`cdf(a)`	Verteilungsfunktion zu einer Liste von Zufallszahlen. Beispiel: `F(x); F:=cdf(samples(cdfN,10))`.

Nomenklatur	Erklärung
`pmf`	Wahrscheinlichkeitsfunktion, engl. probability mass function.
`pdf`	Dichtefunktion, engl. propability density function.
`cdf`	Verteilungsfunktion, engl. cumulative distribution function.
`qf`	Quantilfunktion.

Diskrete Verteilungen

Funktion	Erklärung
`cdfB(x,n,p)`	Binomialverteilung.
`pmfB(x,n,p)`	Wf. der Binomialverteilung.
`cdfG(x,p)`	Geometrische Verteilung.
`pmfG(x,p)`	Wf. der geometrischen Verteilung.
`cdfH(x,N,K,n)`	Hypergeometrische Verteilung.
`pmfH(x,N,K,n)`	Wf. der hypergeometrischen Verteilung.
`cdfP(x,lambda)`	Poisson-Verteilung.
`pmfP(x,lambda)`	Wf. der Poisson-Verteilung.
`cdfLog(x,p)`	Logarithmische Verteilung.
`pmfLog(x,p)`	Wf. der logarithmischen Verteilung.

Stetige Verteilungen

Funktion	Erklärung
`cdfu(x)`	Uniforme Verteilung.
`pdfu(x)`	Dichte der uniformen Verteilung.
`cdfu(x,a,b)`	Uniforme Verteilung.
`pdfu(x,a,b)`	Dichte der uniformen Verteilung.
`cdfN(x)`	Standard-Normalverteilung.
`pdfN(x)`	Dichte der Standard-Normalverteilung.
`cdfN(x,mu,sigma)`	Normalverteilung.
`pdfN(x,mu,sigma)`	Dichte der Normalverteilung.
`cdfLogN(x,mu,sigma)`	Log-Normalverteilung.
`pdfLogN(x,mu,sigma)`	Dichte der Log-Normalverteilung.
`cdfExp(x,lambda)`	Exponentialverteilung, `E=1/lambda`.
`pdfExp(x,lambda)`	Dichte der Exponentialverteilung.
`cdfchisq(x,n)`	Chi-Quadrat-Verteilung.
`pdfchisq(x,n)`	Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung.
`cdfst(x,n)`	Student-t-Verteilung.
`pdfst(x,n)`	Dichte der Student-t-Verteilung.
`cdfF(x,m,n)`	Fisher-Verteilung.
`pdfF(x,m,n)`	Dichte der Fisher-Verteilung.
`cdfW(x,a,b)`	Weibull-Verteilung, `E=b*gamma(1+1/a)`.
`pdfW(x,a,b)`	Dichte der Weibull-Verteilung.
`cdfGamma(x,b,p)`	Gamma-Verteilung, `E=p/b`.
`pdfGamma(x,b,p)`	Dichte der Gamma-Verteilung.
`cdfBeta(x,p,q)`	Beta-Verteilung.
`pdfBeta(x,p,q)`	Dichte der Beta-Verteilung.

Hilfsfunktionen

Funktion	Erklärung
`len(a)`	Länge der Liste a.
`af(x0,y0,x1,y1)`	Die affine Funktion durch (x₀, y₀) und (x₁, y₁). Beispiel: `f:=af(2,1,6,2),f(x)`.
`tg(f,a,x)`	Tangente: `f(a)+f'(a)*(x-a)`.
`sc(f,a,b,x)`	Sekante: `f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)`.
`clamp(x,a,b)`	Bedeutungsgleich mit `min(max(x,a),b)`.
`zeros(f,a,b)`	Versucht, die Nullstellen von f(x) für x∈[a,b] zu bestimmen.
`map(f,a)`	Wendet f auf jedes Element der Liste a an. Beispiel: `map(x.2x,1:10)`.
`filter(p,a)`	Die Elemente aus a, die das Prädikat p erfüllen. Beispiel: `filter(n.prim(n)&prim(n+2),1:100)`.
`all(p,a)`	Allquantor, ist nur dann wahr wenn alle Elemente aus a das Prädikat p erfüllen.
`any(p,a)`	Existenzquantor, ist schon dann wahr wenn irgendein Element aus a das Prädikat p erfüllt.
`count(p,a)`	Zählt wie viele Elemente aus a das Prädikat p erfüllen.
`partition(a,p)`	Partitioniert die Liste a bezüglich der Projektion p.
`enumerate(a)`	Aufzählung der Elemente aus a.
`pli(f,a,b,d)`	Piecewise linear interpolation. Interpoliert die Funktion f auf dem Intervall [a,b] in Schrittweite d stückweise linear. Beispiel: `f(x); f:=pli(sin,-10,10,1)`.
`pli(x0,d,a)`	Interpoliert die equidistanten Stützstellen `t=[x,y]` mit `x=x0+k*d` und `y=a[k]` stückweise linear.
`pli(a)`	Interpoliert die Stützstellen `t=a[k]` mit `x=t[0]` und `y=t[1]` stückweise linear.
`ipp(a)`	Interpolationspolynom für die Stützstellen `t=a[k]` mit `x=t[0]` und `y=t[1]`.
`sma(a,n)`	Einfacher gleitender Mittelwert (simple moving average).
`smac(a,n)`	Zentrierter gleitender Mittelwert (simple moving average central).
`apply(f,v)`	Wendet eine mehrstellige Funktion auf einen Vektor an. Genauer ist `apply(f,v)` für `len(v)=2` dasselbe wie `f(v[0],v[1])`.

Befehle

Befehle stehen hinter einem Semikolon.

Befehl	Erklärung
`scale(a)`	Skaliert das Koordinatensystem.
`scale(x,y)`	Skaliert x- und y-Achse unabhängig voneinander.
`P(x,y)`	Setzt die Bildmitte in den Punkt (x,y).
`sys(n)`	Koordinatensystem: (0: aus), (1: Achsen), (2: mit Gitter).
`ppu(n)`	Pixels per unit legt den Abstand der Gitterlinien fest. Wird erst ein Plot später aufgenommen, weshalb »Plot« nach Ausführung des Befehls nochmals zu betätigen ist.
`ppu(nx,ny)`	Legt den Abstand der Gitterlinien separat fest.
`dyn(1)`	Ermöglicht dynamische Länge von Vektorpfeilen in Vektorfeldern.
`stream(1)`	Stellt die Darstellung von Vektorfeldern auf Stromlinien um.
`color(Farbe)`	Legt die Farbe der Kurve fest. Vordefinierte Farben sind `black`, `gray`, `white`, `red`, `green`, `blue`, `cyan`, `teal`, `purple`, `violet`, `yellow`, `brown`, `cyan`, `orange`. Für weitere Kurven schreibt man `color(Farbe0,Farbe1,...)`. Eine Farbe darf auch ein Tripel `[R,G,B]` sein, die Anteile jeweils von 0 bis 255.
`zaxis(x,y)`	Legt die Position der z-Achse fest. Vordefiniert ist `zaxis(-1,-1)`.

Parameterkurven

Parameter	Erklärung
`t0:=0`	Anfangswert von t.
`t1:=2pi`	Endwert von t.
`tstep:=1`	Schrittweitenfaktor für t.

Parameterflächen

Parameter	Erklärung
`u0:=0`	Anfangswert von u.
`u1:=2pi`	Endwert von u.
`v0:=0`	Anfangswert von v.
`v1:=pi`	Endwert von v.
`alpha:=0.94`	Transparenzfaktor für Flächen.